LOGARITMOS

1. LOGARITMOS
Se llama logaritmo en base a (a>0 y a≠1) de un número positivo N al exponente x al que se debe elevar a para obtener el número N.

loga N = x <=> a x = N

  • Los logaritmos en base 10 se denominan logaritmos decimales. Su escritura se abrevia omitiendo la base: log 10 3 = log 3

  • Los logaritmos que tienen por base el número e = 2,71828... se llaman logaritmos neperianos. Se designan por ln o Ln.

Ejemplos:

a) log 3 81 = x

    log 3 81 = x <=> 3x = 81 => 3x = 34 => x = 4

b) log 2 128 = x

    log 2 128 = x <=> 2x = 128 => 2x = 27 => x = 7

c) log 3 √243 = x

    log 3 √243 = x <=> 3x = (243)1/2

    3x = (35)1/2  => 3x = 3 5/2  x = 5/2

 

 

 


2. Propiedades de los logaritmos
 
En cualquier base, el logaritmo de 1 vale cero:

a0 = 1 <=> log a 1 = 0

El logaritmo en base a del número a  vale 1:

a1 = a <=> log a a = 1

En cualquier base, el logaritmo del producto  de dos números positivos es igual a la suma de los logaritmos de dichos números:

log a (AB) = log a A + log a B

En efecto:

log a A = x => ax = A; log a B = y => ay = B; log a AB = z => az = AB => axay = az = ax+y = a z = a+y = z =  log a A + log a B = log a (AB)

En cualquier base, el logaritmo de un cociente  de dos números positivos es igual a la diferencia de los logaritmos de dichos números:

log a (A/B) = log a A -log a B

En efecto:

log a A = x => ax = A; log a B = y => ay = B; log a A/B = z => az = A/B => ax/ay = az = ax-y = a z = a-y = z = log a A - log a B = log a (A/B)

En cualquier base, el logaritmo de una potencia de base positiva es igual al producto  del exponente por el logaritmo de la base:

log a(A)n = n log a A


3. CAMBIO DE BASE

La calculadora científica y muchos programas informáticos solo proporcionan logaritmos neperianos y logaritmos decimales. La fórmula del del cambio de base permite calcular un logaritmos en cualquier base mediante  logaritmos en otra base diferente.

A) Fórmula del cambio de base con logaritmos en base 10:

log aX =  log b X/ log b a

B) Fórmula del cambio de base con logaritmos neperianos:

log aX =  log X/ log a

 


4. ECUACIONES LOGARÍTMICA

La ecuaciones en las que la incógnita aparece en la base o en el argumento de un logaritmo se llaman ecuaciones logarítmicas.

Para resolver las ecuaciones logarítmicas se modifican sus miembros con la ayuda de las propiedades de los logaritmos y se tiene en cuenta que:

log A = log B <=> A = B

En otras ocasiones es necesario hacer un cambio de la variable z = loga X.

Es necesario comprobar que las soluciones obtenidas son válidas, ya que no están definidos los logaritmos de cero ni de los números negativos.