LOGARITMOS |
1. LOGARITMOS | |||
Se llama logaritmo en base a (a>0 y a≠1) de un
número positivo N al exponente x al que se debe elevar a para
obtener el número N.
loga N = x <=> a x = N
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Ejemplos: a) log 3 81 = x log 3 81 = x <=> 3x = 81 => 3x = 34 => x = 4 b) log 2 128 = x log 2 128 = x <=> 2x = 128 => 2x = 27 => x = 7 c) log 3 √243 = x log 3 √243 = x <=> 3x = (243)1/2 3x = (35)1/2 => 3x = 3 5/2 x = 5/2
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2. Propiedades de los logaritmos | |||
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En cualquier base, el logaritmo de 1 vale cero: a0 = 1 <=> log a 1 = 0 |
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El logaritmo en base a del número a vale 1: a1 = a <=> log a a = 1 |
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En cualquier base, el logaritmo del producto de dos
números positivos es igual a la suma de los logaritmos de dichos números: log a (AB) = log a A + log a B En efecto: log a A = x => ax = A; log a B = y => ay = B; log a AB = z => az = AB => axay = az = ax+y = a z = a+y = z = log a A + log a B = log a (AB) |
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En cualquier base, el logaritmo de un cociente de dos números positivos es igual a la diferencia de los logaritmos de dichos números: log a (A/B) = log a A -log a B En efecto: log a A = x => ax = A; log a B = y => ay = B; log a A/B = z => az = A/B => ax/ay = az = ax-y = a z = a-y = z = log a A - log a B = log a (A/B) |
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En cualquier base, el logaritmo de una potencia de base positiva es
igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: log a(A)n = n log a A |
3. CAMBIO DE BASE | |
La calculadora científica y muchos programas informáticos solo proporcionan logaritmos neperianos y logaritmos decimales. La fórmula del del cambio de base permite calcular un logaritmos en cualquier base mediante logaritmos en otra base diferente. A) Fórmula del cambio de base con logaritmos en base 10: log aX = log b X/ log b a B) Fórmula del cambio de base con logaritmos neperianos: log aX = log X/ log a
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4. ECUACIONES LOGARÍTMICA | |
La ecuaciones en las que la incógnita aparece en la base o en el argumento de un logaritmo se llaman ecuaciones logarítmicas. Para resolver las ecuaciones logarítmicas se modifican sus miembros con la ayuda de las propiedades de los logaritmos y se tiene en cuenta que: log A = log B <=> A = B En otras ocasiones es necesario hacer un cambio de la variable z = loga X. Es necesario comprobar que las soluciones obtenidas son válidas, ya que no están definidos los logaritmos de cero ni de los números negativos. |
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